Hoe groot is het rente op rente effect?

Rente op rente is geen 8ste wereldwonder, maar toch kan het een klein bedrag tot iets gigantisch laten groeien. Vorige week hebben we dat gezien als de rente 100% procent is, oftewel dat de hoeveelheid elke keer verdubbeld. Helaas ken ik geen investeringen die een rendement van 100% geven, dus is het zinniger om eens naar kleinere rentes te gaan kijken.

Als er rente wordt uitgekeerd komt er een bepaald percentage bij de inleg. Percentage betekent letterlijk "per 100". Als iets dus 4% rente geeft, dan krijgen we 0.04 keer de inleg erbij. Ik reken lever met 0.04 dan met 4%. Laten we dit getal even r noemen. Als je inleg op het begin 1 was, dan is na een jaar het gespaarde bedrag (1+r).

Hoeveel is het na 2 jaar?  In het tweede jaar krijg je weer (1+r) = 1.04 keer het huidige bedrag. Dus wordt het (1+r)x(1+r). Van middelbare school hebben we geleerd dat je alle alle termen binnen de haakjes met alle termen binnen de andere haakjes moet vermenigvuldigen, dus wordt het:
(1+r)x(1+r) = 1x1+rx1+1xr+rxr = 1+2r+r² (ik laat vanaf hier de "x" weg, dus 2xr is gewoon 2r)


De eerste term (1) is gewoon je inleg, de tweede term (2r) is de rente over 2 jaar, en de r² is de rente op rente. In het geval van 4% krijg je dus 0.08 rente, en het rente op rente effect is 0.0016, ruim eentiende cent dus.

Hoe gaat het verder? Na 3 jaar is je bedrag gegroeid tot (1+r)x(1+r)x(1+r). Ik ga dit niet helemaal uitschriven, maar dit is 1+3r+3r²+r³
De "rente op rente" term, r² is nu al 3 keer zo groot geworden, dus 0.0048. Al bijna een halve cent! Ook is er een extra term bijgekomen, r³, maar bedenk dat die term wederom 25 keer zo klein is als de vorige term. Deze term kunnen we voorlopig verwaarlozen.

Wat is er tot nu toe opgevallen: de "gewone" rente wordt elk jaar eentje meer (r, 2r, 3r), maar de rente op rente gaat van 0, naar r² naar 3r². De grote vraag is nu: hoe gaat dit verder? Zit er regelmaat in?

Het antwoord is: natuurlijk! In de 17de eeuw ontdekte Blaise Pascal een bijzondere getallendriehoek, waarbij elke getal de optelling is van de twee bovenliggende getallen:

Wat blijkt nu? Dit zijn precies de termen die bij rente op rente samenkomen!

na 0 jaar:					1
na 1 jaar:				1	+	r
na 2 jaar:			1	+	2r	+	r2
na 3 jaar:		1	+	3r	+	3r2	+	r3
na 4 jaar:	1	+	4r	+	6r2	+	4r3	+	r4

De "r²" term is dus steeds de rente op rente term. De term kan je dus berekenen door de term van het vorig jaar te pakken plus de hoeveelheid rente in het vorig jaar. Voor het 5de jaar wordt de rente op rente term dus 6+4 =10. Daarna wordt hij 10+5=15. En die term loopt best hard op: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 35.
In dit geval is r gelijk aan 1/25. Zodra de rente op rente term de 25 is gepasseerd, is de rente op rente term dus gelijk aan 1 jaar extra rente!

Er is nog een ander wiskundig grapje waar deze getallen terugkomen: in de hoeveelheid stippen in een driehoek:

En dit plaatje geeft meteen een directe formule voor de rente op rente (af te leiden door middel van volledige inductie, maar dat laat ik achterwege). We kunnen m helaas niet direct gebruiken, want pas na twee jaar geldt "T1" in het plaatje. Na een beetje stoeien met variabelen krijgen we:

eindbedrag = inleg x (1 + j x r + ¹⁄₂j(j-1)r²)

met j=aantal jaren en r = rente als fractie.
De eerste term (1) is gewoon je inleg, de tweede (j x r) de gewone rente, en de laatste term de rente op rente.

Voorbeeld: met 3% rente heb ik na 9 jaar ¹⁄₂ x 9 x (9-1) x 0.03² = 0.0324, dus ruim 3 cent aan rente op rente, bovenop de 27 cent aan reguliere rente. Met andere woorden: je hebt na 9 aar een extra jaar aan gratis rente ontvangen!

Rente op rente is dus redelijk eenvoudig uit te drukken in een simpele formule. Maar het kan nog simpeler. Zie volgende week!

zie ook:
is rente op rente het 8ste wereldwonder?
rente op rente: produktie en produktiemiddel tegelijk